МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«Харьковский политехнический институт»

Ю. Л. Геворкян, А. Л. Григорьев, Н. А. Чикина

КРАТКИЙ КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Учебное пособие

В двух частях

Часть I

Харьков НТУ «ХПІ» 2009

ББК 22.1я7

Г27

УДК 51(075)

Рецензенты:

В. А. Ванин, д-р техн. наук, вед. науч. сотрудник Института проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины

В. К. Дубовой, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры математического анализа Харьковского национального университета им. В. Н. Каразина

Утверждено редакционно-издательским советом НТУ «ХПИ», протокол № 1 от 02.04.2009 г.

Геворкян, Ю. Л. и др.

Г27 Краткий курс высшей математики [Текст] : учеб. пособие : в 2 ч. / Ю. Л. Геворкян, А. Л. Григорьев, Н. А. Чикина. - Ч. 1. -Харьков : НТУ «ХПІ», 2009. - 324 с - На рус. яз.

ISBN 978-966-593-753-1 (полное собрание)

ISBN 978-966-593-754-8 (ч. 1)

Учебное пособие содержит систематическое изложение общего курса высшей математики.

Предназначается для студентов и преподавателей высших технических учебных заведений.

Ил. 163. Табл. 2. Библиогр.: 25 назв.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

Глава 1. Элементы линейной алгебры

§ 1. Матрицы и определители

Основные определения. Частные виды матриц. Основные действия над матрицами. Транспонирование матриц. Перестановки. Инверсия. Понятие определителя. Понятие линейной зависимости. Свойства определителей. Методы вычисления определителя. Определитель Вандермонда. Обратная матрица. Матричные уравнения. Теорема о базисном миноре матрицы. Элементарные преобразования. Методы вычисления ранга матрицы.

§ 2. Системы линейных алгебраических уравнений

Условие совместности системы. Отыскание решений системы линейных алгебраических уравнений. Квадратная система линейных уравнений с определителем основной матрицы, отличным от нуля. Однородная система линейных алгебраических уравнений. Неоднородная система линейных уравнений. Метод Гаусса.

§ 3. Линейные пространства

Понятие линейного пространства. Размерность и базис пространства. Изоморфизм линейных пространств. Подпространство. Плоскость. Уравнение плоскости в пространстве Rn . Уравнение прямой в Rn . Евклидово пространство.

§ 4. Линейные операторы

Понятие линейного оператора. Основные свойства. Матрица линейного оператора. Пространство линейных операторов. Сумма и произведение операторов. Обратный линейный оператор. Ранг линейного оператора. Матрица перехода к новому базису. Связь между координатами вектора в разных базисах. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Собственные значения и векторы линейных операторов. Основные свойства собственных значений и собственных векторов. Линейные сопряжённые операторы в евклидовом пространстве. Самосопряжённые линейные операторы: основные свойства.

Глава 2. Аналитическая геометрия

§ I. Векторная алгебра

Основные определения. Линейные операции над векторами. Свойства линейных операций. Декартова система координат. Угол между векторами. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Скалярное произведение векторов в ортонорми-рованном базисе. Векторное произведение. Свойства векторного нроизведения. Векторное произведение в ортоиормированном базисе. Некоторые приложения векторного произведения. Смешанное произведение трёх векторов. Смешанное произведение в ортоиормированном базисе. Геометрический смысл смешанного произведения. Свойства смешанного произведения. Преобразования декартовых прямоугольных координат точек плоскости.

§ 2. Плоскость в геометрическом пространстве R³

Нормальное уравнение плоскости. Исследование общего уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

§ 3. Прямая в пространстве

Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

§ 4. Прямая и плоскость в пространстве

Угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

§ 5. Прямая на плоскости

Общее уравнение прямой на плоскости. Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

§ 6. Кривые второго порядка

Окружность. Эллипс. Гипербола. Асимптоты гиперболы. Парабола. Исследование общего уравнения второй степени.

Глава 3. Теория пределов и непрерывность

§ 1. Абсолютная величина действительного числа

§ 2. Числовые последовательности

Общие понятая. Предел числовой последовательности.

§ 3. Понятие функции

Основные определения и способы задания функции. Обратная и сложная функции. Элементарные функции.

§ 4. Предел функции

Основные определения. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Основные теоремы о пределах. Сравнение бесконечно малых величин. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.

§ 5. Непрерывность функции

Определение непрерывности. Точки разрыва. Свойства непрерывных функций. Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке.

Глава 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

§ 1. Производная и некоторые её приложения

Определение производной. Вычисление скорости движущейся точки, теплоёмкости тела, силы тока. Уравнения касательной и нормали. Связь между понятиями непрерывности и дифференцируемое™.

§ 2. Основные правила дифференцирования

§ 3. Производные основных элементарных функций

Производные показательной, логарифмической и степенной функции. Производные тригонометрических, обратных тригонометрических и гиперболических функций.

§ 4. Дифференцирование функции, заданной неявно

§ 5. Логарифмическое дифференцирование

§ 6. Производная функции, заданной параметрически

§ 7. Дифференциал функции

Определение дифференциала функции. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Правила вычисления дифференциалов.

§ 8. Производные и дифференциалы высших порядков

Производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Производная второго порядка функции, заданной параметрически.

§ 9. Основные теоремы дифференциального исчисления

§ 10. Правило Лопиталя

Раскрытие неопределенности вида ||0/0||. Раскрытие неопределённости вида ||∞/∞|| . Раскрытие неопределенностей

||0.∞||, ||∞-∞|| , ||1∞|, | ||0⁰||, ||∞⁰||

§ 11. Исследование функции с помощью производных

Интервалы моноточности. Точки экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. Схема исследования функции и построения её графика. Задачи из приложений дифференциального исчисления.

Глава 5. Неопределённый интеграл

§ 1. Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла.

§ 2. Таблица основных интегралов

§ 3. Основные свойства неопределённого интеграла

§ 4. Основные методы интегрирования

Интегрирование путём замены переменной. Интегрирование по частям.

§ 5. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен.

§ 6. Интегрирование рациональных функций

Разложение многочлена на множители. Разложение рациональной функции на простейшие дроби. Интегралы от рациональных функций.

§ 7. Интегрирование тригонометрических функций

§ 8. Интегрирование некоторых иррациональных функций .. Методы интегрирования иррациональных выражений вида R [ x, хⁿ'ⁿⁿ", xⁿ²^/²" ..., х ⁿ^/"]

r [ x, [ ( ax +b ) / (cx + d) ] ⁿ́' /ⁿ́ , … , [ ( ax + b ) / ( cx + d ) ] "'/ⁿ ],

r [ x, √a ²± x² ] , r [ x, √a² - a² ].

§ 9. Понятие об интегралах, не выражающихся через элементарные функции

Глава 6. Определённые и несобственные интегралы

§ 1. Определенный интеграл

Определение. Классы интегрируемых функций. Свойства определённого интеграла. Определённый интеграл с переменным верхним пределом интегрирования. Формула Ньютона - Лейбница. Методы вычисления определённого интеграла. Интегрирование по частям. Замена переменной в определённом интеграле. Интегрирование чётных и нечётных функций по симметричному интервалу. Приложения определённого интеграла. Вычисление площади плоских фигур в прямоугольных и полярных координатах. Вычисление длины дуги кривой. Вычисление объёмов тел по площадям их параллельных сечений. Объём тела вращения. Приложения определения интегралов к решению физических задач. Приближённое вычисление определённых интегралов. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.

§ 2. Несобственные интегралы

Несобственные интегралы первого рода. Несобственные интегралы второго рода.

Глава 7. Функции нескольких переменных

§ 1. Функция двух или многих переменных

Основные понятия и геометрическая интерпретация функции двух переменных. Поверхности второго порядка. Некоторые определения теории множеств. Функции многих переменных. Предел и непрерывность.

§ 2. Дифференциальное исчисление функции двух переменных

Частные производные функции двух переменных. Геометрический смысл частной производной. Производные и дифференциалы функций двух переменных. Применение полного дифференциала к приближённым вычислениям. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференцирование функций, заданных неявно. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции двух переменных.

§ 3. Экстремум функции двух переменных

Необходимые условия существования экстремума функции. Достаточные условия существования экстремума функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных. Условный экстремум

Список дополнительной литературы

Алфавитный указатель терминов