МІНІСТЕРСТВО
ОСВІТИ І
НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
"Харківський політехнічний інститут"
L.V. Kurpa, Т. V. Shmatko
Л. В. Курпа, Т. В. Шматко
DIFFERENTIAL
CALCULUS FOR ONE VARIABLE FUNCTIONS
The
Educational Textbook for Students of Technical Universities
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ
ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
Навчальний
посібник для студентів технічних університетів
Харків НТУ «ХПІ» 2008
ББК 22.161.1
К93
УДК 517.2 (075)
Рецензенти:
О. Н. Литвин, д-р
фіз.-мат. наук, професор, Українська інженерно-педагогічна
академія, м. Харків;
Ю. В. Міхлін, д-р
фіз.-мат. наук, професор, Національний технічний університет «ХПІ», м. Харків.
Курпа, Л. В.
К93
Диференціальне числення функцій однієї змінної [Текст] : навч. посіб. [для студ. техн. ун-тів] / Л. В. Курпа, Т. В. Шматко. - Харків : НТУ "ХПІ", 2008. - 200 с. - Англ. мовою.
ISBN 978-966-593-659-6
Посібник
присвячено викладанню теоретичного матеріалу з наступних розділів: вступ до
математичного аналізу, теорія границь, диференціальне числення функцій однієї
змінної та практичне застосування диференціального числення до розв'язування
задач. Посібник містить доведення всіх необхідних теорем, передбачених робочою
програмою з математичного аналізу стосовно розглянутих тем, та ілюстрацію їх на
конкретних прикладах.
Призначено
для викладачів та студентів технічних університетів.
Іл.
124. Бібліогр.: 7 назв.
ББК
22.161.1
© Л. В. Курпа, Т. В. Шматко,
© НТУ
"ХПІ", 2008
CONTENT
INTRODUCTION IN THE MATHEMATICAL ANALYSIS
CHAPTER
1.1.Basic Logic Symbols
1.2.The Simplest Concepts 0and Designations of the
Sets Theory
1.3.The Absolute Value (Modulus) of a Real
Number and its Properties
1.4.Numerical Sets. Interval. A Neighborhood of a Point
1.5.Constants and Variables Quantities.
Classification of Variables
1.6.Function
1.7.Ways of
Function Representation
1.8.Implicit and Explicit Functions
1.9.Even and Odd Functions. Periodic Functions
1.10.Inverse Function
1.11.Basic Elementary Functions
1.12.Composite Function
1.13.Elementary Functions
CHAPTER II. LIMIT THEORY
2.1.
Limit of Numerical
Sequence
2.2.
The Simplest Properties of the
Limits
2.3.
Limit of Monotonic Sequence
2.4.
Infinitesimals and their Main Properties
2.5.
Infinitely Large Values and their Main Properties
2.6.
The Connection Between Infinitely Large and Infinitesimals
2.7.
Properties of Limits
Connected with Arithmetic Operations
2.8.
The Limit of a
Function at a Point and on Infinity
2.9.
One-Sided Limits of a
Function at a Point
2.10.Properties of the Function Limits
2.11.The Second Definition of a
Function Limit at a Point and on Infinity
2.12.First Remarkable Limit
2.13.The Number e as Limit of the Numerical Sequence
2.14.The Second Remarkable Limit
2.15.Comparison of the Infinitesimals and
Infinitely Large Valurs
2.16.Equivalent Infinitesimal Values
CHAPTER III. CONTINUITY OF A FUNCTION
3.1.
Definition of Continuous
Function at a Point
3.2.
Another Definitions of the
Function Continuity
3.3.
Arithmetic Operations on Continuous Functions
3.4.
Continuity of the Composite Function
3.5.
Theorem about Preservation Sign of a Continuous Function
3.6.
Continuity of the Inverse Function
3.7.
Continuity of the Basic Elementary Functions
3.8.
Classification of Discontinuity Points
3.9.
Consequences of the Second Remarkable Limit
3.10.Limit of Power-Exponential
Function
3.11.Lemma about Contracting
Segments
3.12.Lemma By Boltsano-
Weierstrass
3.13.Properties of the Functions
Which are Continuous on Closed Interval
3.14.Uniform Continuity of a
Function
CHAPTER IV.
FUNDAMENTALS OF THE
DIFFERENTIAL CALCULUS FOR ONE VARIABLE FUNCTIONS
4.1.
Derivative of a Function and its Geometric Sense
4.2.
The Connection Between Continuity and Differentiability of a Function
4.3.
The Basic Rules for Finding Derivatives
4.4.
Derivative of the Inverse Function
4.5.
Derivatives of the Inverse Trigonometric Functions
4.6.
Derivatives of the Hyperbolic and Inverse Hyperbolic Functions
4.7.
The Table of the Basic Formulas and Rules of Differentiation
4.8.
Derivative of the Composite Function
4.9.
Differentiation of the Implicit Functions
4.10.Logarithmic Differentiation
4.11.Geometric and Physical
Applications of the Derivatives
4.12.Parametric Representation of a
Function
4.13.The Equations of Some Curves
in Parametric Form
4.14.The Derivative of a Function
Represented Parametrically
4.15.The Differential
4.16.The Geometric Meaning of the
Differential
4.17.Derivatives of Different
Orders
4.18.Differentials of Different
Orders
4.19.Derivatives of the Higher Order of
Functions Represented Parametrically
CHAPTER V. INVESTIGATION OF
THE BEHAVIOUR OF FUNCTIONS
5.1. The Basic Theorems of Differential Calculus
5.2.
L'Hospital's Rule for Evaluating Indeterminate Forms of the
Type
5.3.
Evaluating Indeterminate form — by L'Hospital's
Rule
5.4.
Evaluating Power-Exponential Indeterminate Forms
5.5.
Theorems about Increase and Decrease of a Function on an Interval
5.6.
Extremum of a function
5.7.
Sufficient Condition for Existence of an Extremum
(the First Rule)
5.8.
Testing a Differentiable Function for Maximum and Minimum with help the
First Derivative
5.9.
Testing a Function for Maximum and Minimum by a Second Derivative
5.10.The Greatest and the Smallest
Values of a Function on an Interval
5.11.Applying the Theory of Maxima
and Minima of Functions to the Solving Problems
5.12.Convexity and Concavity of a
Curve. Points of Inflection
5.13.Asymptotes
5.14.General Plan for Investigating
Functions and Constructing Graphs
5.15.
REFERENCES
APPENDIX 1. ENGLISH-UKRAINIAN-RUSSIAN
VOCABULARY OF MATHEMATICAL TERMS
APPENDIX 2. RUSSIAN-ENGLISH VOCABULARY OF
MATHEMATICAL TERMS
APPENDIX 3. УКРАЇНСЬКО-АНГЛІЙСЬКИЙ СЛОВНИК МАТЕМАТИЧНИХ СЛОВОСПОЛУЧЕНЬ