аннотация, содержание

Рецензенты:

В. П. Мацокин, доктор физ.-мат. наук, проф. ХНУ им. В. Каразина; Е. С. Сыркин, доктор физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. ФТИНТ НАН Украины, проф.;

П. Г. Черемской, доктор физ.-мат. наук, главн. науч. сотр. НТУ «ХПИ».

Соболь О. В., Дульфан А. Я. Теория фракталов. Методы фрактальной геометрии (бесконечное приближение): Учеб. пособие. - Харьков: НТУ «ХПИ», 2006. - 206 е.

ISBN 966-593-396-5

Изложены основы теории фракталов, приведена общая классификация фрактальных структур и рассмотрены примеры, как детерминированных (геометрических и алгебраических), так и недетерминированных фракталов.

Отдельно рассмотрен математический аппарат, позволяющий использовать фрактальный подход при сжатии информации (система итерируемых функций), а также при описании нелинейных процессов характерных для природных объектов и явлений.

Предназначено для студентов, магистров и аспирантов, обучающихся на специальностях физического, химического и математического профилей, а также для специалистов работающихих в области физики конденсированного состояния, нелинейной математической физики, физического материаловедения и др.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. История вопроса

1.1. От Мандельброта в прошлое

1.2. Линия. Кривые Пеано. Степень извилистости. Дробноразмерная кривая Коха

1.3. Золотое и серебряное сечение, как основа самоподобных преобразований

1.4. Подобие и скейлинг

1.5. Некоторые простые случаи самоподобия. Самоподобие, порождаемое квадратными решетками

1.6. Итерация и рекурсия

1.7.Самоподобное разбиение и «неевклидов» парадокс

Контрольные вопросы

2. Фракталы и системы счисления

2.1. Двоичная система счисления

2.2. Троичная система счисления

2.3. Триадное множество Кантора

2.4. Использование четверичной системы для фрактального анализа

2.5. Фрактал Минковского в восьмеричной системе описания

2.6. Самоподобие целых чисел

Контрольные вопросы

3. Типы фракталов

3.1. Геометрические фракталы

3.2. Примеры различных типов генераторов. Фрактал Леви, деревья Пифагора и Мандельброта

3.3. Фрактальные множества и ультраметрическое пространство

3.4. Аффинные преобразования детерминированных фракталов

Контрольные вопросы

4. Системы Итерируемых Функций и принципы фрактального сжатия изображений

4.1. Суть метода системы итерируемых функций

4.2. Математические методы описания фрактальных структур используемых для СИФ преобразований

4.3. Применение системы итерируемых функций для сжатия изображения

Контрольные вопросы

5. Алгебраические фракталы

5.1. Фракталы Ньютона

5.2. Степенные законы, как источник самоподобия

5.3. Динамические фракталы Жюлиа

5.4. Фрактал Мандельброта

Контрольные вопросы

6. Случайные процессы во фрактальной геометрии

6.1. Эксперимент Ричардсона

6.2. Броуновская кривая

6.3. Кривая побед и поражений

6.4. Квазислучайность в динамике. Модель роста популяции

6.5. Фрактальные свойства хаоса

6.6. Игровая модель детерминированного хаоса

Контрольные вопросы

7. Фрактальные размерности реальных объектов

7.1. Отношение периметра к площади. Парадокс Шварца с площадью боковой поверхности цилиндра

7.2. Фрактальная размерность облаков, островов и рек

7.3. Вселенная Фурье

Контрольные вопросы

Используемая литература

Приложение А. Словарь терминов

Приложение Б. Фрактальное исчисление

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

О. В. Соболь, А. Я. Дульфан