Вища математика. Програма, методичні вказівки і контрольні
завдання для студентів всіх спеціальностей заочного навчання. Ч.І. Елементи
лінійної алгебри і аналітичної геометрії, диференційне та інтегральне
обчислення функції однієї змінної, функції багатьох змінних, диференційні
рівняння і системи. За редакцією Ю.Л.Геворкяна. - Харків: НТУ "ХПІ", 2002.
I.
Элементы
линейной алгебры и аналитической геометрии
1. Трехмерное пространство.
Геометрические векторы. Линейные
операции над векторами. Проекция вектора на ось. Линейная зависимость векторов.
Базис, координаты вектора. Декартова система координат. Действия над векторами,
заданными в координатах. Деление отрезка в заданном отношении.
2. Скалярное произведение в R3 и его свойства. Длина
вектора. Угол между векторами.
3. Понятие матрицы.
Действия над матрицами. Определители. Основные свойства. Минор, алгебраическое
дополнение. Вычисление определителей.
4. Векторное произведение, его свойства.
Смешанное произведение,его
свойства. Геометрический смысл векторного и смешанного произведения.
5. Поверхности и линии
первого порядка. Уравнение плоскости в векторной и координатной форме. Угол
между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение
плоскости, проходящей через три точки. Уравнение прямой в R2 и R3 в векторной и
координатной форме. Угол между прямыми. Угол
между прямой и плоскостью. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Расстояние от точки до прямой и плоскости. Смешанные задачи на прямую и плоскостью.
6. Кривые 2-го порядка. Эллипс, гипербола, парабола и их
канонические уравнения. Поверхности 2-го порядка. Канонические уравнения.
Исследование поверхностей 2-го порядка методом сечений. Приведение общего
уравнения 2-го порядка к каноническому виду.
7. Обратная матрица, ее вычисление. Матричные уравнения. Базисный
минор и ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц.
8. Понятие линейного пространства. Базис и размерность линейного пространства.
Координаты вектора в линейном пространстве. Матрица системы векторов.
9. Понятие системы линейных
уравнений. Матричная форма записи.Теорема
Кронекера-Капелли. Правило Крамера.
Система линейных алгебраических уравнений.
Однородная система линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная
система решений. Метод Гаусса. Неодно-родные
системы линейных уравнений. Теорема о структуре общего решения неоднородной
системы линейных уравнений.
10. Линейные операторы. Матричная запись линейных
операторов.Преобразование
матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Собственные значения
и собственные векторы линейного оператора. Характеристическое уравнение.
Самосопряженные операторы, основные свойства.
1.Элементы теории множеств. Кванторы и их приложения.
2. Отображения и функции.
Предел функции. Бесконечно малые величины и их свойства. Бесконечно большие
величины и их связь с бесконечно малыми величинами.
3. Основные теоремы о
пределах. Первый и второй замечательный пределы. Сравнение бесконечно малых
величин.
4. Непрерывность
функции. Основные теоремы
о непрерывных функциях. Свойства
функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация.
5. Производная функции одной переменной, ее геометрический и
физический смысл. Основные теоремы о производных. Таблица производных.
6. Производная сложной
функции. Параметрическое задание функции. Производная параметрически
заданной функции. Дифференцирование неявно заданной функции. Логарифмическая
производная. Уравнение касательной и нормали.
7. Дифференциал функции,
его геометрический смысл. Инвариантность формы
дифференциала. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
Производные и дифференциалы высших порядков.
8. Теоремы о среднем Ролля, Лагранжа и Коши.
Правило Лопиталя
раскрытия неопределенностей.
9. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Приложения формул Тейлора.
10.Условия монотонности функции. Точки экстремума функции.
Необходимое и достаточное условия экстремума функций. Наименьшее и наибольшее
значения функции на отрезке. Выпуклость и вогнутость кривых. Общее исследование
функции и построение графика.
11. Понятие первообразной и
неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Свойства неопределенных
интегралов.
12.3амена переменных в неопределенном интеграле. Интегрирование
функций, содержащих квадратный трехчлен. Интегрирование по частям
неопределенного интеграла.
13.Понятие комплексного числа. Теорема Безу. Корни многочлена.
Разложение на множители многочлена с действительными коэффициентами
14. Рациональные дроби. Интегрирование простейших рациональных
дробей. Разложение рациональной дроби на простейшие. Интегрирование
рациональной дроби.
15.Универсальная тригонометрическая подстановка. Частные
случаи интегрирования тригонометрических функций. Интегрирование иррациональных
функций. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.
16. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные
свойства определенного интеграла. Производная определенного интеграла по
переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в
определенном интеграле. Интегрирование по частям определенного интеграла.
17. Приложения определенного интеграла к вычислению площадей в
декартовой и полярной системах координат. Приложения
определенного интеграла к вычислению длины дуги в декартовой и полярной
системах координат. Вычисление объемов тел с помощью определенного
интеграла.
18. Приближенные методы вычисления
определенного интеграла (метод
прямоугольников, метод трапеций, метод парабол).
19.Несобственные интегралы
с бесконечными пределами и от разрывных функций. Основные свойства.
Признаки сходимости несобственных интегралов.
20.Физические приложения определенного интеграла.
21. Определение функции нескольких переменных. Область
определения. Понятие предела и непрерывности функции нескольких перемен-
ных. Частные приращения и частные производные функции
нескольких переменных.
22. Полное приращение и полный дифференциал функции нескольких
переменных. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях.
Частные производные и дифференциалы высших порядков.
23. Производная сложной функции нескольких переменных. Производная
неявной функции. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.
24. Формула Тейлора. Экстремумы функций нескольких переменных.
Необходимое и достаточное условие существования экстремума. Условный экстремум.
25. Задачи, приводящие к
дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Теорема о
существовании и единственности решения дифференциального уравнения. Общее
решение. Понятие об особых решениях. Основные классы дифференциальных уравнений
1-го порядка, интегрируемые в квадратурах (с разделяющимися переменными,
однородные, линейные, Бернулли, в полных дифференциалах).
26. Дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема
о существовании и единственности решения дифференциального уравнения.)
Общее решение. Уравнения, допускающие понижение порядка.
27. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
Определитель Вронского. Теоремы о структуре общих решений линейных однородных и
неоднородных дифференциальных уравнений n-го порядка.
28. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами. Характеристическое уравнение. Метод вариации решения линейных
неоднородных дифференциальных уравнений. Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения со специальной правой частью.
29. Системы дифференциальных уравнений. Нормальные системы
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение
нормальных систем дифференциальных уравнений методом исключения переменных.
30. Двойной и тройной интегралы как пределы интегральных сумм.
Свойства кратных интегралов. Вычисление кратных интегралов в декарговой системе координат.
31. Замена переменных в кратных интегралах. Якобиан. Переход от
декартовых координат к полярным, цилиндрическим и сферическим координатам.
32. Вычисление статического
момента, центра тяжести, момента инерции с помощью кратных интегралов.
33. Скалярное поле. Поверхности уровня. Производная по
направлению. Градиент скалярного поля.
34. Векторное поле.
Векторные линии. Дивергенция и ротор векторного поля и
их физический смысл. Специальные виды векторных полей:потенциальное, соленоидальное
и гармоническое. Потенциал векторного поля.
35. Криволинейные интегралы как предел интегральных сумм. Основные
свойства. Вычисление криволинейных интегралов по координатам и длине дуги.
Работа силового поля. Формула Грина. Условие независимости криволинейного
интеграла от формы кривой. Нахождение потенциала векторного поля.
36. Поверхностный интеграл
как предел интегральной суммы. Основные свойства. Вычисление поверхностных
интегралов по площади поверхности и по координатам.
37. Поток векторного поля,
его физический смысл. Вычисление потока. Формула Гаусса-Остроградского.
38. Циркуляция векторного
поля. Формула Стокса.
39. Числовые ряды. Свойства
числовых рядов. Необходимый признак сходимости ряда. Признаки сравнения.
Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Интегральный признак Коши.
Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимости.
Признак Лейбница. Остаток ряда и его оценка.
40. Функциональные
ряды, основные определения. Равномерная сходимость. Свойства равномерно
сходящихся функциональных рядов.
41. Степенные ряды. Теорема
Абеля. Радиус сходимости. Свойства сходящихся степенных рядов. Разложение
функций в степенные ряды. Ряд
Тейлора. Степенные ряды для элементарных функций. Приближенное вычисление
интегралов с помощью степенных рядов. Приближенное решение дифференциальных
уравнений с помощью степенных рядов.
42. Тригонометрическая система функций. Ортогональные системы.Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье на
произвольном интервале. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций, а
также функций, заданных на половине периода.
43. Интеграл Фурье.
Преобразование Фурье, его свойства и применение .
44. Комплексные числа. Действия над комплексными числами в
алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Возведение
комплексного числа в степень и извлечение из него корня. Функция комплексной
переменной.
45. Дифференцирование функции комплексной переменной. Условия
Коши-Римана. Свойства аналитических функций. Гармонические функции.
46. Элементарные функции
комплексной переменной.
47. Интегрирование функций
комплексной переменной. Теорема
Коши для односвязной и многосвязной области.
Интегральная формула Коши.
48. Числовые ряды с комплексными числами. Теорема Абеля. Ряд
Тейлора. Ряд Лорана. Особые точки и их классификация.
49. Вычет функции.
Вычисление вычетов в особых точках. Основная теорема о вычетах. Приложение
вычетов для вычисления интегралов.
50. Преобразование Лапласа,
его свойства. Таблица оригиналов и изображений. Теорема подобия. Теорема
смещения. Теорема запаздывания. Теоремы о дифференцировании и интегрировании
оригиналов и изображений. Теорема о свертке. Формула Дюамеля. Изображение
периодических оригиналов. Формула обращения. Теоремы разложения.
51. Решение задачи Коши в
случае линейных дифференциальных уравнений и систем линейных дифференциальных
уравнений операционным методом.
52. Случайные события, их свойства. Основные формулы
комбинаторики. Классическое определение вероятности. Сложение вероятностей.
Умножение вероятностей. Полная вероятность. Формула Бейеса. Схема независимых
испытаний Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапла.
53. Дискретные случайные величины. Функция распределения вероятностей.
Плотность распределения вероятностей непрерывных случайных величин. Вероятность
попадания непрерывной величины в заданный интервал. Числовые характеристики
случайной величины (математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное
отклонение). Нормальное распределение вероятностей. Оценка отклонения
теоретического распределения от нормального.
54. Системы случайных величин. Числовые характеристики системы
двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции.
55. Основные понятия математической статистики.
Распределение выборки, числовые характеристики. Точные и интервальные оценки
параметров распределения. Выборочная средняя и выборочная дисперсия. Точность
оценки, доверительная вероятность. Доверительный интервал. Критерий согласия
Пирсона.
56. Понятие о случайной
функции. Спектральное разложение стационарной случайной функции. Реакция
динамической системы на внешнее случайное воздействие. Эргодическое свойство
случайной функции.
57. Основные типы уравнений
математической физики. Уравнение колебаний струны. Решение уравнения колебаний
струны методом Фурье.
58. Стационарное распределение температуры в однородном теле.
Решение задачи о распределении тепла в круге методом Фурье.