РІВНЯННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ

Рівняння математичної фізики: Навчальний посібник до аудиторної та самостійної роботи студентів інженерних спеціальностей.-X.: Бізнес Інформ, НТУ «ХШ», 2002. - 288 с. - Рос. мовою.

Учебно-методическое пособие включает в себя материал теоретического характера по курсу математической физики, который хорошо проиллюстрирован большим количеством задач прикладного характера. Особое внимание уделяется применению метода Фурье, физической интерпретации полученных решений, а также вариационных методов математической физики. Первый раздел имеет вспомогательный характер. "Практическое усвоение второго и третьего разделов полностью проводится с помощью лабораторного практикума, представленного в учебном пособии Л. В. Курпа, Ж Б. Кашуба «Уравнения математической физики. Лабораторный практикум».

Учебное пособие разработано по материалам конспекта лекций, прочитанных Н. И. Ахиезером в Харьковском политехническом институте, и предназначено для студентов инженерно-физического, физико-технического и других факультетов, также может быть полезно студентам политехнических университетов, аспирантам и преподавателям.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1. Элементы векторного анализа

§ 1. Скалярное поле. Поверхности уровня

§2. Векторное поле. Векторные линии

§3. Производная по направлению. Градиент функции.

     Свойства градиента

§4. Дивергенция и ротор векторного поля

§5. Потенциальное поле

§6. Поток вектора. Физическая интерпретация потока вектора в поле скоростей жидкости

§7. Теорема Гаусса-Остроградского

§8. Физическая интерпретация дивергенции векторного поля

§9. Циркуляция и ротор векторного поля. Теорема Стокса

§10. Физическая интерпретация циркуляции и роторавектора

§11. Гармонические функции

§12.Формулы Грина

§13.Интегральное представление функции в случаях двух или трех независимых переменных

§ 14. Основные свойства гармонических функций

Глава 2. Основные уравнения математической физики и методы их решения

§ 1. Понятие о дифференциальных уравнениях с частными производными, их общем и частном решении. Примеры решения простейших дифференциальных уравнений первого и второго порядка

§2. О задачах, приводящих к уравнениям в частных производных

1. Уравнения колебаний струны

2. Уравнение поперечных колебаний мембраны

3. Телеграфное уравнение

4. Уравнение теплопроводности

§3. Классификация дифференциальных уравнений второго порядка

§4. Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными, их классификация и приведение к канонической форме

§5. Требования, предъявляемые к постановке задач математической физики

§6. Метод Даламбера

6.1. Задача о свободных колебаниях бесконечной струны

6.2.. Метод Даламбера для решения задачи о колебаниях конечной струны

§7. Метод Римана и его применение к решению уравнений, заданных в неограниченной области

§8. Распространения волн в неограниченном пространстве

1. Трехмерный случай

2. Переход к двумерному случаю методом спуска

§9. Решение уравнений параболического типа в неограниченной области методом Фурье

§10. Физический смысл фундаментального решения уравнения теплопроводности

§11. Решение уравнения теплопроводности в двумерной неограниченной области

Решение однородного уравнения при неоднородном начальном условии

Решение неоднородного уравнения теплопроводности при неоднородном начальном условии методом вариации произвольных постоянных (Обобщение функции Коши)

§12. Проблемы математической физики для ограниченной области. Метод Фурье

§13. Самосопряженный оператор. Свойства собственных функций и собственных значений самосопряженного оператора

§ 14. Разложение в ряд по собственным функциям

§ 15. Общая схема решения неоднородного уравнения методом Фурье

§ 16. Примеры решения задач методом Фурье

16.1. Задача о свободных колебаниях закрепленной струны

16.2. Задача о вынужденных колебаниях закрепленной струны

16.3. Задача о вынужденных колебаниях струны с подвижными концами

1. Решение телеграфного уравнения методом Фурье

Решение задачи теплопроводности с теплообменом на концах

1. Колебания струны, состоящей из двух частей

Решение задач математической физики с сосредоточенными параметрами. Сосредоточенный параметр входит в правую часть

Сосредоточенный параметр входит в коэффициенты уравнения

1. Сосредоточенный фактор входит в граничное условие

16.8. Задача о свободных колебаниях стержня

§ 17. Применение метода Фурье для решения дифференциальных уравнений в двумерной замкнутой области

17.1. Задача о колебаниях прямоугольной мембраны

1. Внутренняя задача Дирихле для круга радиуса К

2. Решение задачи Дирихле для прямоугольника

3. Задача о колебаниях круглой мембраны

§18 Метод функции Грина. Функции Грина для уравнения Лапласа

1. Задача Дирихле для шара

Задача Дирихле для круга Задача Дирихле для полупространства

1. Задача Дирихле для полуплоскости

Глава 3. Применение приближенных методов к решению краевых задач математической физики

§1. Вариационные постановки краевых задач для уравнений эллиптического типа (уравнение Пуассона и бигармоническое)

§2. Метод Ритца

§3. Структура решения краевой задачи

§4. К-функции

1. Предикат (логическая формула) области

2. К-функции

К-функции, соответствующие булевым функциям двухпеременных

§5. Уравнение границы произвольной области

1. Пересечение областей

2. Объединение областей

3. Уравнение границы произвольной области

§6. Построение координатных последовательностей функций

§7. Программирующие системы (ПС) Поле

Глава 4. Интегральные уравнения

§1. Классификация интегральных уравнений

§2. Уравнение Вольтера

§3. Уравнение Фредгольма

§4. Повторное ядро

§5. Теоремы Фредгольма

§6. Уравнения Фредгольма с вырожденным ядром

§7. Разложение симметрического ядра в ряд по собственным функциям

§8. Разложение повторных ядер

§9. Теорема Гильберта-Шмидта о разложении по собственным функциям симметрического ядра

§10. Об аналогии между квадратичными формами и уравнениями с симметрическими ядрами

§11. Механические приложения

§12.Решение неоднородного уравнения Фредгольма

§13. Трактовка задач колебаний с позиции интегральных уравнений

§ 14. Сведение краевых проблем для дифференциальных уравнений к интегральным уравнениям

Литература